Clasificación punto-plano

Point-plane classification header

En este post voy a explicar como clasificar un punto en el espacio con respecto a un plano, es decir, dados un plano y un punto, veremos cómo decidir si dicho punto está contenido en la superficie del plano, o si está situado en uno de los semi-espacios positivo o negativo definidos por este.

Dado un plano:

Implicit plane equation

Un vector normal al plano es el siguiente:

Plane normal

Y es un parámetro que especifica la distancia desde el origen (0,0,0) al plano. D tiene las siguientes propiedades:

  • Representa la distancia más corta (ortogonal a la dirección del plano) entre el plano y el origen.
  • Tiene signo: D es positivo si el origen se encuentra en el semi-espacio positivo del plano (es decir, el vector normal al plano apunta hacia él), o negativo en caso contrario.
  • Está escalado de acuerdo a la magnitud del vector normal. Para normalizar esta distancia se tiene que dividir D entre la magnitud del vector normal; de este modo se obtiene una distancia acorde con las unidades de la base canónica.

Ahora, dado un punto p, consideramos un vector que va del origen a p:

Vector from the origin to a point p

Así, podemos obtener la distancia restringida a la dirección de la normal del plano, desde el punto p al origen, proyectando este vector sobre la normal del plano:

Projection of the point vector onto the plane normal

Ahora ya podemos clasificar p con respecto al plano basándonos en D y Dp. El punto puede pertenecer al plano, o bien puede estar situado en cualquiera de los dos semi-espacios definidos por el mismo:

Point plane classification

Finalmente, también podemos calcular la distancia (con signo) desde p al plano:

Point-plane distance

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