Classificació punt-pla

Point-plane classification header

En aquest post explicaré com classificar un punt respecte d’un pla, és a dir, donat un pla i un punt, veurem com decidir si aquest punt està situat sobre la superfície del pla, o bé si està a un dels semi-espais, positiu o negatiu, definits per aquest pla.

Donat un pla:

Implicit plane equation

Un vector normal al pla és donat per:

Plane normal

I D es un paràmetre que especifica la distància entre l’origen (0,0,0) i el pla. D té les següent propietats:

  • Representa le distància mes curta (ortogonal) del pla a l’origen.
  • Té signe: D és posiiu si l’origen està situat al semi-espai positiu del pla (el que vol dir que el vector normal apunta en la direcció del semi-espai on està el punt).
  • Està escalat d’acord amb la magnitut del vector normal. D s’ha de dividir entre la magnitut del vector normal al pla per obtenir la distància real des de l’origen (és a dir, respecte a la base canònica).

Ara, donat un punt p, podem considerar un vector que va des de l’origen a p:

Vector from the origin to a point p

Aleshores podem obtenir la distància des d’aquest punt fins l’origen, restringida a la direcció de la normal del pla, projectant aquest vector sobre la normal del pla:

Projection of the point vector onto the plane normal

Ara ja es pot classificar p respecte del pla basant-nos en D i Dp. El punt pot pertànyer a la superfície del pla, o pot estar situat a un dels dos semi-espais, positiu o negatiu, definit per aquest:

Point plane classification

Finalment, podem calcular la distància amb signe des de p fins al pla:

Point-plane distance

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>